史瓦西黑洞、RN黑洞、克爾黑洞、克爾-紐曼黑洞……洞洞有精彩

撰文 | 董唯元

黑洞是科普內(nèi)容里的?？?，諸如“時(shí)空奇點(diǎn)”、“事件視界”、“史瓦西半徑”，這些名詞早已成為愛好者們耳熟能詳?shù)母拍睢？扇绻f起黑洞內(nèi)部的多層結(jié)構(gòu)，恐怕許多人會(huì)感到莫名其妙。黑洞里面連物質(zhì)都沒有，只有嚴(yán)重扭曲的時(shí)空而已，怎么會(huì)跟雞蛋一樣有分層結(jié)構(gòu)呢？實(shí)際上，黑洞不僅有內(nèi)部結(jié)構(gòu)而且還很復(fù)雜，但我們可以從“0”開始。

0糖0卡0公式

其實(shí)，在科普書中經(jīng)常出現(xiàn)的黑洞，只是黑洞家族里最簡(jiǎn)單的一種，被稱為史瓦西黑洞。這種黑洞既不帶電也不自轉(zhuǎn)，只有一個(gè)物理屬性——質(zhì)量。在如此高度簡(jiǎn)化又各向?qū)ΨQ的前提下，當(dāng)然沒機(jī)會(huì)出現(xiàn)太復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。但真實(shí)的宇宙中，天體大多具有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量，而且也多多少少帶有一些電荷，黑洞也不應(yīng)例外。當(dāng)描述黑洞的理論模型中加入了自轉(zhuǎn)角動(dòng)量和電荷之后，一些有趣的結(jié)構(gòu)便出現(xiàn)了。

廣義相對(duì)論下的黑洞分類

我們都知道，史瓦西黑洞的結(jié)構(gòu)就是一個(gè)叫作事件視界的球面，包裹著球心處的時(shí)空奇點(diǎn)，從視界到奇點(diǎn)這部分區(qū)域是不可逆轉(zhuǎn)的單向區(qū)，掉進(jìn)這個(gè)區(qū)域的任何東西都不可避免地走向奇點(diǎn)。有個(gè)噱頭感十足的說法：在這個(gè)單向區(qū)內(nèi)，時(shí)間變成了空間，空間變成了時(shí)間。至于這句話具體該如何理解，我們稍后再談。

現(xiàn)在我們讓黑洞攜帶上電荷，即RN黑洞，它有內(nèi)外兩層視界，單向區(qū)只存在于兩層視界之間，黑洞所帶的電荷越多，這個(gè)球殼狀的單向區(qū)就越薄。而在內(nèi)視界以內(nèi)的區(qū)域則又回到普通時(shí)空的樣子，不存在時(shí)間維與空間維互換的情形，黑洞中心的奇點(diǎn)就躺在這片普通時(shí)空區(qū)域中。

如果黑洞有自轉(zhuǎn)，即克爾黑洞，其視界不再是勻稱的球面，而是類似南瓜的表面，而且這種南瓜皮樣的視界也有內(nèi)外兩層，中間夾著單向區(qū)。此外克爾黑洞比RN黑洞還多出兩個(gè)界面——外靜止面和內(nèi)靜止面——分別位于外視界之外和內(nèi)視界之內(nèi)。從靜止面到視界的區(qū)域被稱為能層，這個(gè)名稱的由來是彭羅斯發(fā)現(xiàn)從這個(gè)區(qū)域可以獲取能量。克爾黑洞最有意思的部分是中心不再存在奇點(diǎn)，取而代之的是一個(gè)奇環(huán)。

克爾黑洞所展現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，基本已經(jīng)達(dá)到了復(fù)雜程度的極限，再帶上電荷的克爾-紐曼黑洞，并沒有比克爾黑洞的結(jié)構(gòu)復(fù)雜更多，仍然是內(nèi)外兩個(gè)能層夾著單向區(qū)的樣子，中間也依然是代表時(shí)空奇異性的奇環(huán)。電荷的多少只是為這些結(jié)構(gòu)的具體位置又多增加了一個(gè)參數(shù)而已。

史瓦西度規(guī)

至此，我們已經(jīng)大略瀏覽了四種黑洞的結(jié)構(gòu)樣貌，可是我相信大多數(shù)讀者肯定不會(huì)滿足于如此泛泛的走馬觀花。為了說得更清楚些，我們先用半分鐘時(shí)間認(rèn)識(shí)兩個(gè)相對(duì)論中的物理概念——“線元”和“度規(guī)”。

“線元”可以粗略地理解為時(shí)空中臨近兩點(diǎn)的微小間隔，記做ds。在平直時(shí)空中，

所謂求解廣義相對(duì)論方程，其實(shí)就是計(jì)算出度規(guī)的所有分量。對(duì)時(shí)空幾何性質(zhì)的所有刻畫，都藏在這個(gè)矩陣?yán)铩?/p>

知道了這些，我們就可以根據(jù)一個(gè)線元的表達(dá)式，來閱讀出時(shí)空度規(guī)，繼而揣度時(shí)空的樣子。比如，把不自轉(zhuǎn)，不帶電，質(zhì)量為M的物體放在極坐標(biāo)原點(diǎn)，它周圍的真空線元表達(dá)式是

當(dāng)s 的時(shí)候，史瓦西度規(guī)回到了平直時(shí)空的樣子，說明在無窮遠(yuǎn)處時(shí)空彎曲的效應(yīng)逐漸消失。那么在黑洞附近的時(shí)空又是如何彎曲的呢？讓我們派出一位冒險(xiǎn)者到臨近視界的地方進(jìn)行考察。三維空間中，冒險(xiǎn)者所處的位置是一個(gè)點(diǎn)，而四維時(shí)空中，由于時(shí)間的不斷流逝，即使冒險(xiǎn)者靜止不動(dòng)這個(gè)位置仍是一條線，被稱為“世界線”。

黑洞附近的時(shí)間膨脹

相對(duì)論告訴我們，世界線是個(gè)絕對(duì)的物理對(duì)象，無論從哪個(gè)參照系中計(jì)算，這條線上的同一段ds的長(zhǎng)度都必然相同。我們選取兩個(gè)特殊的參照系，一個(gè)是相對(duì)黑洞靜止的參照系，另一個(gè)是冒險(xiǎn)者自己的隨動(dòng)參照系。

前一個(gè)參照系中，我們照舊使用已經(jīng)提到過的公式來計(jì)算冒險(xiǎn)者世界線的線元。

其中dτ就是冒險(xiǎn)者自己所感受到的時(shí)間變化。

兩個(gè)參照系中冒險(xiǎn)者的世界線是同一根，所以

空間維變成時(shí)間維

說回物理，我們來看看冒險(xiǎn)者穿過視界進(jìn)入黑洞內(nèi)部之后的情景。也許有人會(huì)提出質(zhì)疑：冒險(xiǎn)者在視界處已經(jīng)達(dá)到了時(shí)間膨脹的極限，遠(yuǎn)處的觀者即使等到地老天荒宇宙毀滅也無法等來冒險(xiǎn)者穿過視界的時(shí)刻呀？

小啦，格局小啦。

雖然遠(yuǎn)處的觀者在自己所體驗(yàn)的時(shí)間里等不到，但不代表冒險(xiǎn)者無法到達(dá)。事實(shí)上，按照冒險(xiǎn)者自己所體驗(yàn)的時(shí)間，他完全可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)并順利穿過視界。當(dāng)然他最好有非常堅(jiān)硬的鎧甲和非常微小的身軀，以免被潮汐力扯碎。

當(dāng)r rs時(shí)，冒險(xiǎn)者就進(jìn)入了單向區(qū)，我們來看看這里的時(shí)間與空間是如何互換的。

此時(shí)

也就是說，進(jìn)入視界之后的冒險(xiǎn)者，根本無法再懸停在任何地方，他必須不斷靠近黑洞中心，才能感受到時(shí)間的流逝。或者干脆說，在遠(yuǎn)處觀者參照系中的空間維度r，與冒險(xiǎn)者參照系中的時(shí)間維度τ，建立起了奇妙的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)冒險(xiǎn)者來說，r不再是個(gè)能來回移動(dòng)的空間維度，而是變成了時(shí)間一樣的單向維度。

RN度規(guī)和克爾度規(guī)

通過前面對(duì)史瓦西度規(guī)的了解，我們發(fā)現(xiàn)原來黑洞的視界就出現(xiàn)在度規(guī)的某個(gè)分量為零或者發(fā)散的地方。依照這個(gè)經(jīng)驗(yàn)，識(shí)別其他類型黑洞的視界，自然也可以手到擒來。僅帶電，不自轉(zhuǎn)的RN度規(guī)是這樣的：

顯然，這個(gè)度規(guī)所刻畫的時(shí)空結(jié)構(gòu)遠(yuǎn)比史瓦西度規(guī)和RN度規(guī)復(fù)雜得多，所以也經(jīng)歷了更長(zhǎng)的時(shí)間才被計(jì)算出來。史瓦西度規(guī)早在1915年就被發(fā)現(xiàn)，RN度規(guī)也在1916~1918年間被發(fā)現(xiàn)，而克爾度規(guī)的精確解卻要等到1963年。

克爾度規(guī)不僅復(fù)雜而且重要，因?yàn)橛钪嬷械奶祗w都或多或少具有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量，只有克爾度規(guī)才能更準(zhǔn)確地反映這些天體的運(yùn)動(dòng)和演化。相較而言，史瓦西度規(guī)和RN度規(guī)就顯得過于簡(jiǎn)化，甚至遺漏掉了許多真實(shí)宇宙中的有趣內(nèi)容。

轉(zhuǎn)動(dòng)的黑洞可以發(fā)電

這片時(shí)刻轉(zhuǎn)動(dòng)著的時(shí)空被稱為能層，因?yàn)槠渲刑N(yùn)含著一種特殊的能量，進(jìn)入這個(gè)區(qū)域的的冒險(xiǎn)者可以逆著轉(zhuǎn)動(dòng)方向拋出一個(gè)有質(zhì)量的物體，自己就可以獲得許多能量，繼而利用這些能量來逃離出靜止面。這個(gè)丟車保帥獲取能量的做法叫作“彭羅斯過程”（Penrose process），是彭羅斯在1969年發(fā)現(xiàn)的。

我們知道質(zhì)量就是能量的一種形式，而彭羅斯過程本質(zhì)上就是利用克爾黑洞的能層將質(zhì)量?jī)稉Q成能量的方法。而且這種能量?jī)稉Q方式的效率非常高，我們投喂給黑洞的質(zhì)量中，理論上最多可以有29%轉(zhuǎn)化為我們獲取的能量。別看這個(gè)效率大概跟用煤燒開水的效率差不多，但別忘了我們的分母不是煤炭中的化學(xué)能，而是整坨物質(zhì)的質(zhì)量。

事件視界的形狀

帶有自轉(zhuǎn)角動(dòng)量J和電荷Q的克爾-紐曼度規(guī)是克爾度規(guī)的一個(gè)小小擴(kuò)展。

這個(gè)表達(dá)式顯然不具備球?qū)ΨQ性。

不過，我們也不能粗暴地說這就是冒險(xiǎn)者眼中“看”到的黑洞，因?yàn)闋砍兜焦饩€傳播路線問題，會(huì)使問題更復(fù)雜。我們只能讓冒險(xiǎn)者閉上眼睛，躲過光線的欺騙，用手去觸達(dá)實(shí)際空間位置。由于黑洞處的時(shí)空嚴(yán)重扭曲，冒險(xiǎn)者會(huì)發(fā)現(xiàn)，最初遠(yuǎn)處觀者交給他的一個(gè)球形3維指示圖，在黑洞里會(huì)變成扁南瓜的樣子。

問題總比答案多

黑洞有關(guān)的研究課題實(shí)在太多太多了，除了頗受關(guān)注的黑洞熱力學(xué)和信息悖論之外，僅時(shí)空幾何本身的許多性質(zhì)，至今都是活躍的研究前沿。比如奇點(diǎn)對(duì)時(shí)空因果結(jié)構(gòu)的破壞，就使許多研究者非常不安：既然無法從理論上消滅它，就非常希望它永遠(yuǎn)藏在事件視界之內(nèi)，不要暴露在我們可觸及的時(shí)空之中。

然而前面在計(jì)算rH的時(shí)候可以看出，如果rQ或者a足夠大，也就是電荷或角動(dòng)量足夠大，那么從數(shù)學(xué)上確實(shí)有可能出現(xiàn)rH無解的情況，對(duì)應(yīng)著不存在事件視界的時(shí)空結(jié)構(gòu)。倘若如此，奇點(diǎn)就會(huì)裸露在我們面前，這是物理學(xué)家們內(nèi)心非?？咕艿膱?chǎng)景。為此彭羅斯提出了“宇宙監(jiān)督假說”（Cosmic censorship hypothesis），認(rèn)為宇宙一定有某種機(jī)制來防止裸奇點(diǎn)的出現(xiàn)。至于這種機(jī)制到底是什么，至今也沒有特別有力的理論機(jī)制。

另外，自從知道黑洞是個(gè)超高能量轉(zhuǎn)換器之后，其自身結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，也成了物理學(xué)家們擔(dān)憂的問題。就像生產(chǎn)火藥的車間更容易發(fā)生爆炸一樣，一個(gè)進(jìn)入黑洞的粒子也許會(huì)因?yàn)榕及l(fā)的衰變而獲得巨大的能量，這些能量也許會(huì)使粒子自己原地變身成一個(gè)小黑洞。如果真有這種過程出現(xiàn)，這個(gè)小黑洞也許就會(huì)對(duì)大黑洞的時(shí)空結(jié)構(gòu)造成不可逆轉(zhuǎn)的破壞，甚至導(dǎo)致大黑洞整體結(jié)構(gòu)的徹底崩潰。

對(duì)克爾黑洞自身結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究是個(gè)非常艱深的課題，自1963年至今近60年時(shí)間里進(jìn)展一直比較緩慢。2022年5月，哥倫比亞大學(xué)和普林斯頓大學(xué)的幾位研究者在一篇長(zhǎng)達(dá)912頁的論文中，終于從數(shù)學(xué)上給出了a<<rs條件下克爾黑洞的穩(wěn)定性證明[1]。這篇論文的證明過程還用到了幾位研究者在過去幾年中陸續(xù)得到的二十幾條引理，如果把先前鋪墊引理的論文算在一起，總共有2100頁之多！足見這一問題在數(shù)學(xué)上的復(fù)雜程度。

盡管與黑洞相關(guān)的課題都是如此難啃的硬骨頭，但同時(shí)這些問題也都關(guān)乎我們這個(gè)宇宙最基本的規(guī)律和法則。對(duì)這些問題的深入研究，即使無法立刻得到明確答案，也會(huì)成為“下金蛋的母雞”，我們會(huì)創(chuàng)造更豐富的工具并不斷刷新我們的認(rèn)知。

文獻(xiàn)

[1] arXiv:2203.05375v2 [quant-ph]

出品：科普中國(guó)

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