ΛCDM模型是Λ-冷暗物質(zhì)模型的簡稱，它通常被認(rèn)為是宇宙學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)模型。當(dāng)然，它并不是唯一的模型，但它已被證明在解釋宇宙微波背景的存在方面相當(dāng)成功，這是宇宙學(xué)中最重要的發(fā)現(xiàn)之一。此外，該模型相當(dāng)好地解釋了星系的大規(guī)模分布和宇宙中觀察到的輕元素數(shù)量。最后，宇宙正在加速膨脹也可以納入該模型中。今天，我們將使用ΛCDM模型和普朗克衛(wèi)星的最新數(shù)據(jù)計算宇宙的年齡。
首先，我們需要花一點時間來解釋一些術(shù)語。如果你看過我之前關(guān)于弗里曼方程的文章，你會知道參數(shù)a是個比例因子，它與空間的膨脹或收縮有關(guān)。借助一點廣義相對論，我們可以計算出這個參數(shù)與紅移Z的關(guān)系：
其中a?是今天的比例因子，它等于1。我們知道，哈勃常數(shù)是星系退行速度與距離的比值，但在這里，我們將使用的是根據(jù)比例因子定義的哈勃常數(shù)：
當(dāng)我們對時間進(jìn)行積分時，我們就得到了宇宙年齡的公式：
現(xiàn)在，計算宇宙年齡的關(guān)鍵就在于哈勃常數(shù)，我們可以通過一系列操作把它變成是a的函數(shù)。通過考慮弗里曼方程，我們可以將哈勃常數(shù)寫成如下紅移的形式：
其中H_0是哈勃常數(shù)的當(dāng)前值，而紅移項前的Ω為不同的密度項：首先是下標(biāo)為r的輻射密度，其次是下標(biāo)為m的物質(zhì)密度，再來是下標(biāo)為k的曲率項，最后是下標(biāo)為Λ的暗能量密度。
在ΛCDM模型中，曲率是平坦的，所以我們將Ω_k設(shè)置為零。正如我們所看到的，輻射密度項在今天的宇宙中也是微不足道的，所以我們也讓Ω_k等于零。因此，最終的哈勃常數(shù)將只剩下一個更簡單的方程：
并且我們注意到了比例因子a與紅移的關(guān)系（第一個方程），于是哈勃常數(shù)變成了如下公式：
于是，宇宙年齡的積分方程就變成了如下形式：
我們可以看到，這個積分是相當(dāng)復(fù)雜的，這時候有一個數(shù)學(xué)系的朋友就顯得很重要。通過詢問他，我們可以知道這個積分的解如下：
接下來，我們只需要把數(shù)值帶進(jìn)去就可以求出宇宙的年齡了。要設(shè)置當(dāng)前的宇宙年齡，我們必須要將紅移值Z設(shè)置為0。此外，根據(jù)2018年普朗克衛(wèi)星數(shù)據(jù)，我們可以知道當(dāng)前的哈勃常數(shù)H_0=67.5(km/s)/Mpc，暗能量密度Ω_Λ=0.685，物質(zhì)密度Ω_m=0.315。把這些值代入公式，我們就可以得到宇宙的年齡為137.8億年。
